В декабре 2019 г. в Китае была зарегистрирована вспышка респираторной инфекции, вызванной новым видом коронавируса, которая за короткое время распространилась во всех остальных странах мира. ВОЗ 11 февраля дает болезни, ассоциированной с вирусом, название COVID-19, параллельно Международной комиссией по классификации вирусов возбудителю инфекции дано официальное наименование SARS-CoV-2 [1]. Уже 11 марта ВОЗ объявила о пандемии заболевания.

SARS-CoV-2 относится к роду Betacoronavirus, семейству Coronaviridae. У этого таксона различают четыре основных структурных белка: шиповидный белок (S), состоящий из двух субъединиц S₁ и S₂; оболочечный белок (E); мембранный белок (M) и нуклеокапсидный белок (N). В составе белка S₁ располагается рецепторсвязывающий домен (RBD), обеспечивающий проникновение вируса в клетку организма хозяина. В свою очередь нуклеокапсидный белок N играет большую роль в транскрипции вируса и его сборке в клетке хозяина. Как правило, нейтрализующие антитела связываются с S-белком, а именно с его RBD-фрагментом, препятствуя попаданию вируса в клетку, в то время как механизм взаимодействия антител с белком N в ходе инфекционного процесса изучен слабо [2, 3].

Следует отметить, что на первом этапе моделирования эпидемии COVID-19 был разработан способ определения количественных характеристик процесса инфицирования населения SARS-CoV-2 в различных странах [4–7].

Из экспериментальных данных известно, что антитела к любому патогену, в том числе и к SARC-CoV-2, начинают вырабатываться после инфицирования или вакцинации биообъекта по следующей схеме [2, 3, 8]:

• титр антител нарастает;
• титр в общем случае выходит на плато;
• титр начинает постепенно уменьшаться, в общем случае до нуля, а в частном — до некоторого фонового значения.

Напряженность иммунитета — состояние, при котором организм способен оставаться невосприимчивым к заболеванию. Практически любой иммунитет можно преодолеть массивными дозами возбудителя. Для оценки напряженности иммунитета используют понятие «защитного титра специфичных антител», т. е. уровня специфичных антител в сыворотке крови, обеспечивающего защиту от заболевания в случае инфицирования. Понятие «защитный титр» относительно. Следует отметить, что низкие значения титров дают определенную защиту от патогена, а высокие титры антител не обеспечивают абсолютную защиту [9].

Данное определение напряженности иммунитета является очень общим и не позволяет вводить в рассмотрение количественные характеристики напряженности иммунитета.

Так как процесс заболевания человека является стохастическим, можно дать более строгое определение напряженности иммунитета. Под напряженностью иммунитета целесообразно понимать уровень (титр) антител, при котором вероятность заболевания человека при определенной инфицирующей дозе патогена не превышает заданную (директивно установленную).

Под длительностью иммунитета понимают время, в течение которого поддерживается напряженность иммунитета.

Одними из важнейших вопросов при решении задачи определения напряженности и длительности иммунитета являются разработка математической модели, описывающей вероятность заболевания человека при заданном титре антител, и длительность их сохранения при заданной инфицирующей дозе. Поэтому количественное описание напряженности и длительности иммунитета можно разделить на две взаимосвязанные задачи:

• обоснование характера изменения параметров факторного закона заболевания населения в зависимости от уровня (титров) антител;
• разработку математической модели динамики изменения титров антител в организме человека.

Актуальность проведенного исследования подтверждается тем, что до настоящего времени напряженность и длительность иммунитета населения от SARS-CoV-2, в том числе после вакцинации, неизвестны, о чем открыто говорится разработчиками как отечественных, так и зарубежных вакцин в инструкциях по их применению [10–14].

Целью настоящего исследования была разработка математической модели для количественного определения напряженности и длительности иммунитета к SARS-CoV-2.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

При разработке математической модели динамики изменения титров антител учитывали следующие факты, которые были определены теоретически или экспериментально:

• вероятность заболевания человека при прочих равных условиях зависит от титра антител: чем выше титр антител, тем меньше вероятность заболевания;
• процесс образования антител случаен, откуда следует, что на одно и то же время, прошедшее после инфицирования, даже при действии одной и той же инфицирующей дозы патогена титры антител заданного вида у разных людей будут различными, т. е. случайными;
• у конкретного человека титры антител сначала нарастают во времени, выходя, как правило, на плато, а затем уменьшаются до нуля или до некоторого фонового значения;
• уровень титров антител определяет напряженность иммунитета, а время сохранения этого уровня — длительность иммунитета.

В связи с этим в настоящей работе предпринята попытка с единых научно-методических позиций разработать математическую модель, описывающую стохастический характер заболевания человека при инфицировании и динамику изменения титров различных антител к SARSCoV-2 в интересах решения практически важных задач, в частности определения напряженности и длительности иммунитета.

В данном исследовании использовали литературные данные о результатах лабораторных исследований на антитела IgM и IgG к белкам S и N, а также к RBD-фрагменту S-белка у 1850 пациентов, госпитализированных с диагнозом COVID-19 [2]. Графический материал выполняли в Microsoft Office Excel 2013 (Microsoft; США).

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Используя методы дифференциального и интегрального исчисления, а также теории вероятностей, разработана математическая модель, описывающая динамику изменения титров антител в крови человека, позволяющая решать различные прикладные задачи:

• прогнозировать динамику изменения титров антител у инфицированного или вакцинированного населения;
• оценивать длительность инфекционного заболевания, протекающего в той или иной степени тяжести;
• оценивать напряженность и длительность иммунитета;
• обосновывать требования к вакцине, исходя из ее целевого предназначения.

Из первого факта (зависимость вероятности заболевания человека от титра антител) следует, что при любом титре антител, например титре IgG, возможно возникновение заболевания, поэтому в рассмотрение можно ввести двумерную функцию плотности распределения случайных величин титров антител и инфицирующих доз, вызывающих при этих титрах заболевание человека. С учетом проведенных ранее теоретических и экспериментальных исследований [4, 6, 7, 15] эту плотность распределения случайных величин необходимо описывать двумерным логарифмически нормальным законом:

форм. 1

где ID₅₀ — медианное значение случайной величины инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание при титре Т₅₀ с вероятностью, равной 0,5; Т₅₀ — медианное значение титра антител у однотипных биообъектов (однотипных групп людей); σ_lnD, σ_lntT — средние квадратические отклонения натуральных логарифмов случайной величины инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание, и титра антител; ^r_lnDlnT — коэффициент корреляции натуральных логарифмов рассматриваемых случайных величин.

В общем случае коэффициент корреляции имеет область определения [–1; 1], однако в рассматриваемой нами задаче он должен быть положительным и иметь область определения (0; 1], так как с увеличением титра инфицирующая доза, вызывающая инфекционное заболевание, должна возрастать.

Из уравнения (1) следует, что если зафиксировать титр T антител IgM или IgG, то случайная величина инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание, протекающее в легкой, средней, тяжелой или крайне тяжелой степени тяжести, будет распределена по логарифмически нормальному закону:

форм. 2

где ID₅₀* — параметр закона: медианное значение случайной величины инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание, протекающее в легкой, средней, тяжелой или крайне тяжелой степени тяжести при заданном титре антител; σ_In*_D — параметр закона о том, что среднее квадратичное отклонение натурального логарифма случайной величины инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание при заданном титре антител.

Параметры условного закона распределения случайной величины D͂ в уравнении (2) можно выразить через параметры двумерной плотности распределения (1) и зафиксированный титр антител следующим образом [16, 17]:

форм. 3

Из условного закона распределения случайной величины инфицирующей дозы, вызывающей инфекционное заболевание не слабее заданной степени тяжести при заданном титре, следует так называемый факторный закон заболевания [4, 7], описывающий вероятность возникновения инфекционного заболевания в зависимости от действующей инфицирующей дозы при заданном титре T:

форм. 4

ID₅₀* —  параметр закона: инфицирующая доза патогена, при которой вероятность возникновения инфекционного заболевания не слабее заданной степени тяжести (легкой, средней, тяжелой или крайне тяжелой), при заданном титре антител равна 0,5.

Зависимость факторного закона заболевания не слабее заданной степени тяжести от титра антител IgG схематично представлена на рис. 1.

Из факторного закона заболевания следует, что инфицирующую дозу, при которой с заданной вероятностью p наступает инфекционное заболевание, можно определить следующим образом [15]:

форм. 5

где argerf(u) — функция, обратная интегралу ошибок [13].

Таким образом, для определения вероятности заболевания р и, соответственно, вероятности не заболеть 1–р при инфицирующей дозе D необходимо определить время после инфицирования, когда титр антител IgG будет равен заданному T.

С точки зрения возможности заболеть или не заболеть, в рассмотрение можно ввести безопасную инфицирующую дозу. По аналогии с безопасной дозой токсичных химических веществ [16–17] дадим следующее определение безопасной инфицирующей дозы патогена.

Под безопасной будем понимать инфицирующую дозу, при которой на заданном уровне титра (титров) антител вероятность наступления инфекционного заболевания не превосходит заданную (директивно установленную или психологически приемлемую).

Анализ данных о титрах различных видов антител IgM и IgG [4] показал, что в одно и то же время после инфицирования у различных людей обнаружены различные титры.

Согласно теоретическим представлениям титр любого вида антител на заданное время после инфицирования является непрерывной случайной величиной, имеющей область определения [0, ∞]), и логарифмически нормальную безусловную плотность распределения, следующую из выражения (1). Тогда вероятность того, что случайная величина титр T͂ заданное время после инфицирования будет меньше некоторой величины титра Т, можно описать следующим образом:

форм. 6

где Т_е — параметр закона распределения случайной величины титра: его медианное значение (половина людей в рассматриваемое время после инфицирования будет иметь титр меньше Т_е, а вторая половина — больше); форм. 21 — параметр закона распределения, характеризующий разброс титров относительно их медианного значения (чем меньше форм. 21 , тем больше разброс титров относительно их медианы и наоборот, чем больше форм. 21 , тем меньше разброс титров.

Параметры закона распределения случайной величины титров (6) могут быть определены по экспериментальным данным с помощью уже разработанной методики [15] Так как уравнение (6) в определенной системе координат превращается в прямую линию [7]:

форм. 7

можно воспользоваться методом наименьших квадратов для определения неизвестных параметров и получения статистических оценок уравнения (7).

Втабл. 1 представлены сгруппированные данные о титрах иммуноглобулина IgМ на 7-й день после инфицирования и IgG на 33-й день после инфицирования (первичные данные о титрах были заимствованы из [2]).

Результаты статистической обработки по методу наименьших квадратов данных табл. 1 по уравнению (7) представлены в табл. 2, а на рис. 2 показан линейный вид этих данных.

Аналогичные расчеты по оценке параметров закона распределения случайной величины титров рассматриваемых антител были выполнены и для других времен.

Удовлетворительные значения статистической оценки, полученные при обработке данных, подтверждают теоретический вывод о том, что случайная величина титра в заданное время после инфицирования подчинена логарифмически нормальному закону.

В табл. 3 представлены данные о результатах статистической обработки титров IgM и IgG, описываемых уравнением (7), по методу наименьших квадратов: параметры закона распределения случайной величины титров T_e и форм. 21 , а также статистические оценки параметров закона и уравнения в целом: расчетный F-критерий Фишера, коэффициент корреляции и средние квадратичные отклонения в оценке lnT_e и форм. 22 .

Анализ характера изменения медианных значений титров антител показывает, что они сначала нарастают, выходя на плато, а затем с некоторого момента времени убывают, практически до нуля. Такой характер изменения значений титров антител с позиций фармакодинамики можно легко объяснить в рамках однокамерной модели [15]: после инфицирования организм начинает вырабатывать антитела с некоторой постоянной скоростью и одновременно с некоторой скоростью происходит их убыль за счет всех механизмов выведения из организма: метаболизма, выведения в неизменном виде и т. д. Когда скорость образования антител сравняется со скоростью их выведения, процесс изменения титров антител выйдет на стационарный уровень, т. е. появится плато. После прекращения выработки антител их титры в крови начнут уменьшаться по экспоненциальному закону. Описанная качественная динамики изменения титров антител позволяет записать следующие дифференциальные уравнения.

На интервале времени от нуля до прекращения выработки антител (dT) изменение титра антител dT за бесконечно малый интервал времени можно описать следующим образом:

форм. 8

решение которого имеет следующий вид:

форм. 9

где q —  скорость образования антител; V_k — объем крови в организме биообъекта, мл; λ — постоянная выведения иммуноглобулина из организма, сут.^–1.

Так как q будет равна нулю после окончания выработки антител (t > τ), дифференциальное уравнение (8) примет следующий вид:

форм. 10

решение которого имеет следующий вид:

форм. 11

Параметры модели (8–11) определяли по методу наименьших квадратов численным методом, для чего была разработана соответствующая программа в Excel.

На рис. 3 показан характер изменения медианных значений титров IgM и теоретическая кривая, описываемая уравнениями (9) и (11).

Разработанная математическая модель позволяет решать различные прикладные задачи, в частности определять напряженность и длительность иммунитета при заданной инфицирующей дозе.

Сформулируем следующую постановку задачи. Определить напряженность и длительность иммунитета при действии заданной инфицирующей дозы D при условии, что вероятность заболевания человека p не должна превышать заданную (директивно установленную).

Исходя из факторного закона заболевания (4), по аналогии с уравнением (5) найдем величину ID₅₀, при которой вероятность заболевания человека при инфицирующей дозе D равна р:

форм. 12

Фиксируя необходимую величину из двумерной логарифмически нормальной плотности, найдем титр IgG, при котором величина будет следующей:

форм. 13

Выше было показано, что в заданное время после инфицирования титр IgG является непрерывной случайной величиной, распределенной по логарифмически нормальному закону. Тогда будет существовать некоторая вероятность того, что титр будет не меньше заданной величины T (т. е. титр, который обеспечит защиту). Задаваясь достаточно высокой вероятностью p (T) того, что титр будет не меньше некоторой величины T, можно найти медианное значение титра, которое обеспечивает эту вероятность:

форм. 14

Тогда вероятность того, что человек не заболеет при действии на него патогена в инфицирующей дозе D, будет равна произведению вероятностей того, что титр IgG будет больше заданного р (T) и вероятности того, что человек не заболеет при действии инфицирующей дозы 1–р (D), т. е.: 

форм. 15

Из полученного решения задачи следует, что напряженность иммунитета человека (биообъекта) связана с вероятностью заболеть или не заболеть при действии на него патогена в инфицирующей дозе D при заданном титре антител.

Найдем теперь длительность иммунитета, под которым будем понимать интервал времени, в течение которого титр IgG будет не меньше заданного. Это соответствует тому, что медианный титр Т_е должен быть не меньше величины, определяемой соотношением (14).

Приравнивая медианный титр Т_е, определяемый соотношением (14), к динамике его изменения во времени, будем иметь:

• при t < τ

форм. 16

• при t > τ

форм. 17

Из уравнений (16) и (17) следуют значения времени начала t_н и конца t_к, периода после инфицирования, в течение которого обеспечивается медианный титр, не менее требуемого, определяемого уравнениями (16) и (17):

форм. 18

форм. 19

Графическое представление этих значений времени показано на рис. 4.

Тогда длительность иммунитета может быть найдена следующим образом:

форм. 20

Полученные решения будут справедливы для различных типов антител не только для переболевшего, но и для вакцинированного населения.

В самом общем случае параметры разработанных моделей будут зависеть от ряда факторов: пола, возраста (дети, взрослые, пожилые); состояния здоровья (условно здоровые, люди с хроническими заболеваниями и т. п.); анамнеза (переболевшие, вакцинированные: переболевшие или неболевшие).

Для получения количественных оценок напряженности и длительности иммунитета необходимо определить пять количественных характеристик вирулентности для каждой из однотипных групп населения в системе двух случайных величин: инфицирующей дозы и титра антител, при которых наступает заболевание, а также описать динамику изменения титров антител во времени после инфицирования или вакцинации.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В опубликованных научных работах даются (как правило) качественные или полуколичественные оценки. Зачастую описаны не значения титров на заданное время после инфицирования, а значения коэффициентов позитивности. Теоретического обоснования характера изменения титров антител авторы исследований обычно не предоставляют [2, 3, 8, 18, 19]. Так, скорость изменения титров для различных типов антител различается: для IgM- и IgGантител к N-белку и RBD-фрагменту характерна разная динамика выработки. Если IgM-антитела к N-белку быстро нарабатываются и имеют высокий титр, то IgG-антитела к нему же нарабатываются медленнее и не достигают высоких значений. Для IgM- и IgG-антител к RBD характерна обратная картина: быстрый рост IgG-антител и медленный IgM-антител [18, 19]. Большая часть существующих тестсистем ИФА для количественного определения титра антител к SARS-CoV-2 направлены на выявление в крови пациентов S-белка и его фрагмента RBD, а также N-белка коронавируса. 

ВЫВОДЫ

В ходе исследования были разработаны математические модели: 1) факторный закон заболевания (модель оценки вероятности заболевания человека, имеющего некоторый уровень антител IgG, при действии на него SaRS-CoV-2 в некоторой инфицирующей дозе); 2) модель динамики изменения титров антител в организме человека, основанная на усредненной скорости их образования в течение некоторого времени — и одновременного выведения из организма за счет всех механизмов; 3) на основе этих двух моделей разработан способ количественной оценки напряженности и длительности иммунитета. Аналогичные решения будут справедливы и для вакцинированного населения. Для получения конкретных количественных результатов о напряженности и длительности иммунитета необходимо на экспериментальном уровне определить параметры разработанных моделей, что позволит устранить существующий в настоящее время недостаток, связанный с отсутствием одной из основных характеристик вакцины по предназначению: разработчикам вакцин от SARS-CoV-2 неизвестны напряженность и длительность иммунитета.